Gel'fand-Calderónin inversio-ongelma kahdessa ulottuvuudessa

We prove uniqueness and stability for the inverse boundary value problem of the two dimensional Schrödinger equation. We do not assume the potentials to be continuous or even bounded. Instead, we assume that some of their positive fractional derivatives are in a specific Lorentz space. These spaces are a natural generalization to the usual fractional Sobolev spaces. The thesis consists of two parts. In the first part, we define the generalized fractional Sobolev spaces and prove some of their properties including embeddings and interpolation identities. In particular we sharpen the usual Sobolev embedding into the space of Hölder-continuous functions, by showing that a particular kind of space embeds into the space of continuous functions without any modulus of continuity. The inverse problem is considered in the second part of the thesis. We prove a new Carleman estimate for ∂. This estimate has a fast decay rate, which will allow us to consider potentials with very low regularity. After that we use Bukhgeim s oscillating exponential solutions, Alessandrini s identity and stationary phase to get information about the difference of the potentials from the difference of the Cauchy data. The stability estimate will be of logarithmic type, but works with potentials of low regularity.Gel'fand esitti niin sanotun käänteissirontaongelman vuoden 1954 kansainvälisessä matematiikan konferenssissa Amsterdamissa. Kaukaisuudesta tuleva valonsäde osuu ympäröivästä materiaalista poikkeavaan epähomogeenisuuteen ja siroaa. Voidaanko vaihtelemalla valonlähdettä ja mittaamalla sironneita aaltoja kaukana kohteesta päätellä epähomogeenisuuden tarkka rakenne? Tämä ei vielä herättänyt kaikkien mielenkiintoa, mutta Calderón esitti hyvin läheisen ongelman vuonna 1980. Kysymys oli: "Voiko pelkillä kappaleen reunalla tehdyillä sähkömittauksilla aina päätellä, minkälainen sähkönjohtavuusjakauma kappaleen sisällä on?" Calderón oli pohtinut tätä jo 40-luvulla työskennellessään öljy-yhtiössä. Han ratkaisi vain ongelman erikoistapauksen, mutta hänen kysymyksensä poiki hedelmällisen tutkimusalan. Calderónin ongelma voidaan palauttaa Gel'fandin ongelmaan. Sylvester ja Uhlmann ratkaisivat molemmat vuonna 1987, mutta vain kolmi- ja korkeampiulotteisille kappaleille. Kaksiulotteiset tapaukset näyttivät vaikeammilta. Astala ja Päivärinta ratkaisivat johtavuusongelman vuonna 2006. Bukhgeim ratkaisi Gel'fandin ongelman vuonna 2008. Väitöskirjan aihe liittyy kaksiulotteiseen Gel'fandin ongelmaan. Yleistämme Bukhgeimin tulosta ratkaisemalla ongelman hyvin suuressa luokassa epähomogeenisuuksia. Aiemmissa ratkaisuissa aina oletettiin, että epähomogeenisuutta kuvaava funktio olisi jatkuva ja rajoitettu. Tämä tarkoitti, että kohde ei saanut sisältää selviä rajapintoja kuten esimerkiksi lasin ja veden välisiä. Tässä työssä näytetään, että ongelma voidaan myös ratkaista ilman näitä rajoittavia oletuksia. Määrittelemme mitä nämä uudet ja yleisemmät luokat epähomogeenisuuksia ovat sekä tutkimme niiden ominaisuuksia ja suhdetta tavanomaisesti käytettyihin luokkiin. Tämän jälkeen käytämme niiden mainioita ominaisuuksia Gel'fandin ongelman ratkaisemiseksi. Lopuksi mainitsemme muutamia jatkotutkimusaiheita